Spieltheorie
Economics & Law - NIT Northern Institute of Technology / TUHH, Hamburg · Teil meines Technology-Management-MBA · Lernnotizen zur Wiederholung.
Bisher stand jeder Entscheider in diesen Notizen einer Welt gegenüber, die einfach stillhält: Preise sind gegeben, das Budget ist fest, und ich maximiere still vor mich hin. Aber viele der interessanten Probleme in Ökonomie und Recht sind nicht so. Mein bester Zug hängt von deinem Zug ab - und deiner von meinem. Zwei Firmen, die Preise setzen, zwei Länder, die über Aufrüstung entscheiden, zwei Verdächtige, die entscheiden, ob sie aussagen. Genau dieses Geflecht aus „es kommt darauf an, was du tust” soll die Spieltheorie entwirren.
1 · Was Spieltheorie ist
Abschnitt betitelt „1 · Was Spieltheorie ist“Spieltheorie ist ein Rahmen zur Analyse strategischer Interaktionen - Situationen, in denen das Ergebnis für jede Person nicht nur von ihrer eigenen Wahl abhängt, sondern auch davon, was die anderen wählen. Sie gibt uns ein sauberes Vokabular:
- Spieler - die Parteien, die Entscheidungen treffen (Menschen, Firmen, Regierungen).
- Strategien - die Optionen, die jedem Spieler offenstehen (gestehen oder schweigen, eintreten oder draußen bleiben, hoher Preis oder niedriger Preis).
- Auszahlungen (Payoffs) - eine Zahl dafür, wie gut ein Ergebnis für diesen Spieler ist (Gewinn, Jahre in Freiheit, Nutzen).
Die Standardannahme, mit der wir arbeiten, ist die nichtkooperative Spieltheorie: Jeder Spieler ist eigennützig und kümmert sich nur um seine eigene Auszahlung. Sie können einander keine bindenden Versprechen geben. Wie wir sehen werden, ist genau dieses Eigeninteresse das, was oft die Kooperation blockiert, die alle bessergestellt hätte.
2 · Das Gefangenendilemma
Abschnitt betitelt „2 · Das Gefangenendilemma“Das berühmteste Spiel überhaupt, und dasjenige, das man im Schlaf beherrschen sollte. Hier die Geschichte.
Zwei Räuber werden zum Verhör abgeführt und in getrennte Räume gesteckt - sie können nicht miteinander reden. Der Polizei gelingt es mit Sicherheit, beiden einen geringfügigen Diebstahl nachzuweisen, aber den schweren Raub kann sie nicht beweisen, es sei denn, jemand redet. Also wird jedem Verdächtigen derselbe Deal angeboten:
Wenn ich einer der Räuber bin - was tue ich?
Die Auszahlungsmatrix
Abschnitt betitelt „Die Auszahlungsmatrix“Wir halten das als Auszahlungsmatrix fest. Jahre im Gefängnis sind schlecht, also verzeichnen wir sie als negative Auszahlungen (eine längere Strafe ist eine stärker negative Zahl). Spieler 1 wählt eine Zeile; Spieler 2 wählt eine Spalte.
| Spieler 1 ↓ / Spieler 2 → | Spieler 2: Gestehen | Spieler 2: Nicht gestehen |
|---|---|---|
| Spieler 1: Gestehen | (−5, −5) | (0, −10) |
| Spieler 1: Nicht gestehen | (−10, 0) | (−1, −1) |
Wie man eine Zelle liest. In jeder Zelle stehen zwei Zahlen. Die linke Zahl ist die Auszahlung von Spieler 1; die rechte Zahl ist die Auszahlung von Spieler 2. Die Zelle (0, −10) bedeutet also: Spieler 1 bekommt 0 (kommt frei) und Spieler 2 bekommt −10 (zehn Jahre) - das ist die Ecke, in der Spieler 1 gestanden und Spieler 2 geschwiegen hat.
Das gemeinsam beste Ergebnis - und warum sie es verfehlen
Abschnitt betitelt „Das gemeinsam beste Ergebnis - und warum sie es verfehlen“Suche das Ergebnis, das für das Paar als Ganzes am besten ist. Das ist die Zelle unten rechts, (−1, −1): Keiner gesteht, und sie sitzen nur je ein Jahr ab. Die gesamte Haftzeit ist hier am kleinsten - das ist das Kaldor-Hicks-effiziente Ergebnis (es erzeugt den größten Gesamt-„Kuchen” an Wohlergehen für die beiden zusammen).
Und doch: Wenn jeder Räuber still nur seine eigene Auszahlung maximiert, landen sie nicht dort. Hier die Falle, aus Sicht von Spieler 1:
- Angenommen, Spieler 2 gesteht. Dann wähle ich zwischen −5 (ich gestehe auch) und −10 (ich schweige). −5 schlägt −10 → ich gestehe.
- Angenommen, Spieler 2 schweigt. Dann wähle ich zwischen 0 (ich gestehe) und −1 (ich schweige). 0 schlägt −1 → ich gestehe.
Was auch immer Spieler 2 tut, meine beste Antwort ist gestehen. Das Spiel ist symmetrisch, also treibt dieselbe Logik auch Spieler 2 zum Gestehen. Beide gestehen - und landen bei (−5, −5), je fünf Jahre - obwohl (−1, −1) direkt greifbar war, besser für beide. Diese Kluft zwischen dem individuell Rationalen und dem kollektiv Besten ist das Dilemma.
3 · Dominante Strategien
Abschnitt betitelt „3 · Dominante Strategien“Der Zug „gestehen” in diesem Spiel hat eine besondere Eigenschaft: Er war meine beste Antwort egal, was der andere Spieler tat. Das ist eine dominante Strategie.
Es gibt zwei Stufen von „dominant”, und der Unterschied betrifft nur Gleichstände:
- Ergibt eine strikt höhere Auszahlung als die Alternative in jedem Fall, den der Gegner herstellen könnte.
- „Gestehen” im ursprünglichen Gefangenendilemma: −5 schlägt −10, und 0 schlägt −1. Besser in beiden Fällen.
- Ergibt eine Auszahlung, die in jedem Fall mindestens genauso gut und in mindestens einem Fall strikt besser ist.
- Denke an die mathematische Kurzform „x ist schwach größer als y” für x ≥ y - dieselbe Idee: nie schlechter, manchmal besser.
Eine schwache Variante des Räuberspiels. Angenommen, die Zelle „keiner gesteht” zahlte (0, 0) statt (−1, −1). Wenn der andere Spieler jetzt nicht gesteht, sind meine beiden Optionen 0 (gestehen) und 0 (schweigen) - ein Gleichstand. Wenn der andere Spieler doch gesteht, ist es −5 (gestehen) gegen −10 (schweigen) - gestehen gewinnt. Gestehen ist also nun immer mindestens genauso gut, einmal strikt besser: Es ist nur schwach dominant, nicht strikt.
Durchgerechnete Beispiele - strikt, schwach und weder-noch erkennen
Abschnitt betitelt „Durchgerechnete Beispiele - strikt, schwach und weder-noch erkennen“Hier sind vier kleine 2×2-Spiele. In jedem wählt Spieler 1 die Zeile (A oder B) und Spieler 2 die Spalte (A oder B); die Zellen lesen sich als (Spieler 1, Spieler 2). Klassifizieren wir die Lage jedes Spielers.
Spiel I
| S1 ↓ / S2 → | A | B |
|---|---|---|
| A | (1, 1) | (0, 0) |
| B | (0, 0) | (0, 0) |
Spiel II
| S1 ↓ / S2 → | A | B |
|---|---|---|
| A | (1, 2) | (1, 1) |
| B | (0, 0) | (2, 0) |
Spiel III
| S1 ↓ / S2 → | A | B |
|---|---|---|
| A | (1, 1) | (1, 1) |
| B | (1, 1) | (1, 1) |
Spiel IV
| S1 ↓ / S2 → | A | B |
|---|---|---|
| A | (9, 1) | (0, 0) |
| B | (8, 0) | (−2, −1) |
Gehen wir Spieler 1 durch (Vergleich der Zeilen A vs. B bei festgehaltener Spalte von Spieler 2):
- Spiel I - wenn S2 A spielt: 1 (Zeile A) vs. 0 (Zeile B) → A. Wenn S2 B spielt: 0 vs. 0 → Gleichstand. Nie schlechter, einmal besser → schwach dominant A.
- Spiel II - wenn S2 A spielt: 1 vs. 0 → A. Wenn S2 B spielt: 1 vs. 2 → B. Die beste Zeile kippt → weder-noch (keine dominante Strategie).
- Spiel III - jede Auszahlung ist 1; beide Zeilen sind stets gleichauf → weder-noch (nichts dominiert).
- Spiel IV - wenn S2 A spielt: 9 vs. 8 → A. Wenn S2 B spielt: 0 vs. −2 → A. Beide Male strikt besser → strikt dominant A.
Und Spieler 2 (Vergleich der Spalten A vs. B bei festgehaltener Zeile von Spieler 1):
- Spiel I - wenn S1 A spielt: 1 vs. 0 → A. Wenn S1 B spielt: 0 vs. 0 → Gleichstand → schwach dominant A.
- Spiel II - wenn S1 A spielt: 2 vs. 1 → A. Wenn S1 B spielt: 0 vs. 0 → Gleichstand → schwach dominant A.
- Spiel III - alle Auszahlungen gleichauf → weder-noch.
- Spiel IV - wenn S1 A spielt: 1 vs. 0 → A. Wenn S1 B spielt: 0 vs. −1 → A. Beide Male strikt besser → strikt dominant A.
4 · Nash-Gleichgewicht
Abschnitt betitelt „4 · Nash-Gleichgewicht“Benannt nach John Nash (1928-2015, Nobelpreisträger 1994), ist das Nash-Gleichgewicht das zentrale Lösungskonzept der Spieltheorie. Es ist allgemeiner als dominante Strategien - das Spiel dominanter Strategien ist nur ein besonderer, sauberer Sonderfall davon.
Wie man eines findet
Abschnitt betitelt „Wie man eines findet“Der mechanische Test besteht darin, die Matrix abzuschreiten und nach einer profitablen Abweichung zu suchen:
-
Wähle eine beliebige Zelle (eine Kombination von Entscheidungen).
-
Frage jeden Spieler der Reihe nach: „Könnte ich, während ich die Wahl des anderen Spielers festhalte, meine eigene Auszahlung durch einen Wechsel meines Zuges erhöhen?”
-
Wenn ja für irgendjemanden, ist diese Zelle kein Nash-Gleichgewicht - folge der Abweichung zu einer neuen Zelle und wiederhole.
-
Wenn nein für alle - niemand will sich einseitig bewegen - hast du ein Nash-Gleichgewicht gefunden.
Für das Gefangenendilemma ist (Gestehen, Gestehen) das Nash-Gleichgewicht: Wenn ich von dort zum Schweigen wechsle, während du weiter gestehst, gehe ich von −5 auf −10 - strikt schlechter, also lasse ich es. Du auch nicht. Beachte die unbequeme Lektion: Das Nash-Gleichgewicht ist hier das Ergebnis, das für beide schlechter ist als gegenseitiges Schweigen. Das Nash-Gleichgewicht sagt uns, wo sich eigennütziges Spiel einpendelt, nicht, wo es hinsollte.
Ein durchgerechnetes Beispiel ohne dominante Strategien
Abschnitt betitelt „Ein durchgerechnetes Beispiel ohne dominante Strategien“Zwei Spieler, A und B, jeder mit drei Zügen. Spieler A wählt die Zeile (A1, A2, A3), Spieler B wählt die Spalte (B1, B2, B3). Die Zellen lesen sich als (Spieler A, Spieler B).
| A ↓ / B → | B1 | B2 | B3 |
|---|---|---|---|
| A1 | (10, 10) | (0, 6) | (2, 2) |
| A2 | (15, 0) | (5, 5) | (4, 4) |
| A3 | (3, 5) | (7, 8) | (6, 6) |
Keiner der Spieler hat hier eine dominante Strategie (prüfe A’s beste Zeile: gegen B1 ist es A2, aber gegen B2 A3 - sie kippt). Jagen wir also nach Abweichungen, genau wie im Rezept:
-
Start bei (A1, B1) = (10, 10). Spieler A prüft Spalte B1: Die Auszahlungen sind 10, 15, 3 - A will also A2 (15 schlägt 10). Bewegung.
-
Jetzt bei (A2, B1). Spieler B prüft Zeile A2: B’s Auszahlungen sind 0, 5, 4 - B will B2 (5 schlägt 0). Bewegung.
-
Jetzt bei (A2, B2) = (5, 5). Spieler A prüft Spalte B2: A’s Auszahlungen sind 0, 5, 7 - A will A3 (7 schlägt 5). Bewegung.
-
Jetzt bei (A3, B2) = (7, 8). Spieler A prüft Spalte B2 erneut: 0, 5, 7 - A3 ist am besten, keine Bewegung. Spieler B prüft Zeile A3: B’s Auszahlungen sind 5, 8, 6 - B2 ist am besten, keine Bewegung. Niemand kann sich allein verbessern → (A3, B2) ist das Nash-Gleichgewicht.
Das Spiel pendelt sich also bei (A3, B2) ein und zahlt (7, 8) - erreicht, ohne dass je einer der Spieler eine dominante Strategie hatte, was der ganze Sinn des Nash-Konzepts ist.
5 · Warum das für Ökonomie & Recht wichtig ist
Abschnitt betitelt „5 · Warum das für Ökonomie & Recht wichtig ist“Hier ist die Auszahlung (im doppelten Sinne) für einen Kurs zu Recht und Ökonomie. Eine enorme Bandbreite sozialer Probleme hat genau die Struktur eines Gefangenendilemmas: Jede Person, die rational in ihrem eigenen Interesse handelt, trifft eine Wahl, die - über alle aufsummiert - die ganze Gruppe schlechterstellt.
| Problem | „Gestehen” (der verlockende eigennützige Zug) | Das Dilemma |
|---|---|---|
| Umweltverschmutzung | Abfall billig ablassen, statt zu säubern | Alle lassen ab → der gemeinsame Fluss ist für alle ruiniert |
| Rüstungswettläufe | Mehr Waffen bauen, falls der Rivale es tut | Beide rüsten bis an die Zähne auf, ärmer und nicht sicherer, als wenn keiner es täte |
| Preiskriege | Den Rivalen unterbieten, um Marktanteile zu ergattern | Beide senken die Preise → dünne Margen für beide |
| Steuerhinterziehung | Einkommen verstecken, um mehr davon zu behalten | Alle hinterziehen → öffentliche Leistungen brechen für alle zusammen |
| Überfischung | Jetzt so viel fangen, wie man kann | Der Bestand wird bis zur Ausrottung befischt → morgen fischt niemand mehr |
In jedem Fall gibt die individuell rationale Wahl ein kollektiv schlechtes Ergebnis - das Nash-Gleichgewicht ist die „schlechte” Zelle, und gegenseitige Zurückhaltung (die gute Zelle) zerfällt, weil niemand den anderen - oder sich selbst - zutrauen kann, daran festzuhalten.
Hier verdienen sich Recht und Institutionen ihren Lohn. Die privaten Parteien stecken fest, weil sie die Auszahlungen der anderen nicht ändern können. Aber ein Gesetz kann es: eine Umweltstrafe, eine Fangquote, ein Rüstungskontrollvertrag mit Inspektoren, eine Steuerbehörde mit Prüfungen - jedes davon schreibt die Auszahlungsmatrix um, sodass der kooperative Zug auch zur besten Antwort jedes Einzelnen wird. Ändere die Zahlen in den Zellen, und die dominante Strategie - und mit ihr das Nash-Gleichgewicht - kann sich zum Ergebnis verschieben, das für alle gut ist.
Wiederholungs-Zusammenfassung
Abschnitt betitelt „Wiederholungs-Zusammenfassung“Weiter: Funktionierende Märkte → - die tieferen Bedingungen, unter denen Handel alle besserstellt.