Woche 5 | Session 1: News Vendor Problem — Probabilistische Nachfrage

Kurs: Supply Chain Digitalisierung — Modul 2: Digital Business in der SC

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Session-Agenda

Hinweis

• Rückblick: deterministische vs. probabilistische Umgebungen
• Probabilistische Nachfrageverteilung — Aufbau und Parameter
• Verkaufsmatrix: Verkaufte Einheiten = min(D, S)
• NV-Gewinnmatrix über alle Nachfrage-Bestell-Kombinationen
• Erwartungswert-Rahmenwerk — wie ein risikoneutraler NV entscheidet
• Kernergebnis: optimale Bestellung S* ≠ D im probabilistischen Umfeld
• Ausblick: Lieferanten- + SC-Auszahlungen, Verträge und Plattformökonomie (nächste Session)

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Deterministisch vs. Probabilistisch — Was hat sich geändert?

Deterministisches Umfeld (Sessions 4 & 5)

• Die Nachfrage D ist vor der Bestellung mit Sicherheit bekannt
• Zwei Arten: (1) D ist eine bekannte Konstante | (2) D ist eine bekannte Funktion einer anderen Variablen (z.B. Preis)
• Dominante NV-Strategie: Bestelle immer S* = D — sicher, keine Unsicherheit

Probabilistisches Umfeld (Diese Session)

• D ist nicht mit Sicherheit bekannt — es ist nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Nachfrageniveaus bekannt
• Der NV muss die Bestellung aufgeben, BEVOR die Nachfrage realisiert wird — die Entscheidung fällt unter Unsicherheit
• Risiko zweier Fehler: Überbestand (S > D) → unverkaufte Einheiten, Beschaffungskosten verschwendet | Unterbestand (S < D) → entgangene Verkäufe
• S* = D ist nicht mehr garantiert optimal — muss Überbestandskosten vs. Unterbestandskosten abwägen

Tipp

★ Prüfungstipp: Der wesentliche Wechsel von deterministisch zu probabilistisch = der NV kennt D bei der Bestellung nicht mehr. Er muss erwartete Auszahlungen zur Entscheidung nutzen. Stellen Sie dies immer klar heraus.

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Probabilistische Nachfrageverteilung — Dieses Beispiel

Typ: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung — 5 mögliche Nachfrageniveaus Diskret: In einer bestimmten Periode kann nur ein Szenario eintreten. Die Szenarien schließen sich gegenseitig aus. Alternative: Kontinuierliche Verteilungen (z.B. Normal-, Poissonverteilung) — gleiche Logik gilt, komplexere Mathematik

S#	Nachfrageniveau (D)	Wahrscheinlichkeit P(D)	Interpretation
1	10.000 Einheiten	20%	Szenario mit geringer Nachfrage — 1 zu 5 Chance
2	20.000 Einheiten	15%	Unterdurchschnittliche Nachfrage
3	30.000 Einheiten	10%	Moderate Nachfrage — unwahrscheinlichstes Szenario
4	40.000 Einheiten	25%	Überdurchschnittliche Nachfrage — ziemlich wahrscheinlich
5	50.000 Einheiten	30%	Hohe Nachfrage — wahrscheinlichstes Szenario
Gesamt	—	100%	Diskrete Verteilung — genau ein Szenario tritt pro Periode ein

• Hinweis: Wahrscheinlichkeiten summieren sich auf 100% → gültige Verteilung ✓
• Wahrscheinlichstes Ergebnis: D = 50.000 (30% Chance) → aber NV kann nicht garantieren, dass dies eintritt
• Unwahrscheinlichstes: D = 30.000 (10% Chance)

Tipp

★ Prüfungstipp: Überprüfen Sie immer, ob sich Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren. In Prüfungsfragen — erklären Sie, was jede Wahrscheinlichkeit in einfacher Sprache bedeutet, bevor Sie Erwartungswerte berechnen.

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Das Entscheidungsproblem — Was sollte der NV bestellen?

• NV-Ziel: Gewinnmaximierung
• Angenommener NV-Typ: Risikoneutraler rationaler Akteur → maximiert den erwarteten (durchschnittlichen) Gewinn, nicht den Worst-Case oder Best-Case
• Was der NV im Voraus weiß: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von D — NICHT das tatsächliche realisierte D
• Entscheidungswerkzeug: Erwartungswert der Auszahlungen = Summe von (Wahrscheinlichkeit × Gewinn) über alle Nachfrageszenarien
• Formel: E[Gewinn | S] = Σ P(Dᵢ) × π(S, Dᵢ) für alle Nachfrageszenarien i

Hinweis

★ Risikoneutraler NV = maximiert den erwarteten Gewinn. Dies ist die Standardannahme in der NVP-Literatur. Ein risikoaverser NV würde Abwärtsszenarien stärker gewichten.

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Schritt 1 — Verkaufsmatrix: Verkaufte Einheiten = min(D, S)

Regel: Verkaufte Einheiten = min(Nachfrage D, Bestellung S) — immer die kleinere der beiden

• Wenn S > D: Überschüssiger Bestand bleibt unverkauft → D bestimmt die Verkäufe (nachfragebegrenzt)
• Wenn S < D: Bestand ist erschöpft, bevor die gesamte Nachfrage gedeckt ist → S bestimmt die Verkäufe (angebotsbegrenzt)
• Wenn S = D: perfekte Übereinstimmung → gesamte Nachfrage gedeckt, kein Restbestand (diagonale Zellen unten)

Bestellmenge (S) → Nachfrage (D) ↓	S=10K	S=20K	S=30K	S=40K	S=50K	Muster
D=10.000	10K	10K	10K	10K	10K	D deckelt Verkäufe
D=20.000	10K	20K	20K	20K	20K	D deckelt Verkäufe
D=30.000	10K	20K	30K	30K	30K	D deckelt Verkäufe
D=40.000	10K	20K	30K	40K	40K	D deckelt Verkäufe
D=50.000	10K	20K	30K	40K	50K	S deckelt Verkäufe

• Hervorgehobene Diagonale (S = D): maximal mögliche Verkäufe für dieses Nachfrageniveau
• Unterhalb der Diagonale (D > S): angebotsbegrenzt, Verkäufe = S (entgangene Verkäufe treten auf)
• Oberhalb der Diagonale (D < S): nachfragebegrenzt, Verkäufe = D (unverkaufter Bestand tritt auf)

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Schritt 2 — NV-Gewinnmatrix

Formel: NV-Gewinn = min(D, S) × ₹20 − S × ₹10

• ₹20 = Nettomarge pro verkaufter Einheit (Einzelhandel ₹30 − Vertrieb ₹10)
• S × ₹10 = Gesamtbeschaffungskosten, die an den Lieferanten gezahlt werden (unabhängig davon, wie viele verkauft werden)

Parameter	Wert
Marktpreis (P) (Rs./Einheit)	30
Vertriebskosten (Rs./Einheit)	10
Großhandelspreis (W) (Rs./Einheit)	10
Fertigungs- & Betriebskosten des Lieferanten (Rs./Einheit)	5
Fixkosten für Lieferanten (Rs.)	150000

Bestellmenge (S) → Nachfrage (D) ↓	S=10K	S=20K	S=30K	S=40K	S=50K	Logik
D=10.000	+₹1L	₹0	−₹1L	−₹2L	−₹3L	S > D → Verlust wächst
D=20.000	+₹1L	+₹2L	+₹1L	₹0	−₹1L	Höhepunkt bei S=D
D=30.000	+₹1L	+₹2L	+₹3L	+₹2L	+₹1L	Höhepunkt bei S=D
D=40.000	+₹1L	+₹2L	+₹3L	+₹4L	+₹3L	Höhepunkt bei S=D
D=50.000	+₹1L	+₹2L	+₹3L	+₹4L	+₹5L	Höhepunkt bei S=D

• Diagonale (S = D): Immer der höchste Gewinn für jede Zeile (jedes Nachfrageniveau) — bestätigt die deterministische Regel
• Bewegung nach rechts von der Diagonale (S > D): Gewinn fällt — jede zusätzliche Einheit, die gekauft, aber nicht verkauft wird, kostet ₹10 ohne Umsatz
• Bewegung nach links von der Diagonale (S < D): Gewinn fällt ebenfalls — entgangene Verkäufe von je ₹20, die hätten erzielt werden können
• S = 10K Zeile: Immer +₹1L unabhängig von der Nachfrage — sicher, lässt aber Geld auf dem Tisch, wenn D hoch ist
• S = 40K wenn D = 10K: −₹2L → die Bestellung des 4-fachen der Nachfrage, wenn die Nachfrage nur 10K Einheiten beträgt = große verschwenderische Beschaffung

Tipp

★ Prüfungstipp: Seien Sie in der Lage, eine Zelle der Gewinnmatrix von Grund auf neu zu berechnen. Z.B. S=30K, D=20K → Verkäufe = min(20K, 30K) = 20K → Gewinn = 20K×20 − 30K×10 = 4.00.000 − 3.00.000 = +₹1L.

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Schritt 3 — Erwartete Gewinnberechnung (Risikoneutraler NV)

Berechne für jede Bestellmenge S: E[Gewinn | S] = Σ P(Dᵢ) × NV Gewinn(S, Dᵢ) Excel-Methode: SUMMENPRODUKT von Wahrscheinlichkeitsvektor und Gewinnspalte für diese Bestellmenge

Bestellmenge (S)	P=20% D=10K	P=15% D=20K	P=10% D=30K	P=25% D=40K	P=30% D=50K	E[Gewinn] (₹)	NV wählt?
S = 10.000	+₹1L	+₹1L	+₹1L	+₹1L	+₹1L	₹1.00.000	Nein
S = 20.000	₹0	+₹2L	+₹2L	+₹2L	+₹2L	₹1.60.000	Nein
S = 30.000	−₹1L	+₹1L	+₹3L	+₹3L	+₹3L	₹1.90.000	Nein
S = 40.000 ★	−₹2L	₹0	+₹2L	+₹4L	+₹4L	₹2.00.000 ★	JA ✓
S = 50.000	−₹3L	−₹1L	+₹1L	+₹3L	+₹5L	₹1.50.000	Nein

Schritt-für-Schritt-Beispiele

• E[Gewinn | S = 10.000]: Gleicher Gewinn (+₹1L) über alle Nachfrageniveaus → E[Gewinn] = 20%×1L + 15%×1L + 10%×1L + 25%×1L + 30%×1L = ₹1.00.000. Sichere Wahl, verpasst aber das Aufwärtspotenzial bei hoher Nachfrage.
• E[Gewinn | S = 20.000]: ₹0 bei D=10K (kein Gewinn kein Verlust) | +₹2L für D ≥ 20K. E[Gewinn] = 20%×0 + (15%+10%+25%+30%)×2L = 0,8 × 2.00.000 = ₹1.60.000
• E[Gewinn | S = 40.000] — OPTIMAL ★: Gewinne: D=10K → −₹2L | D=20K → ₹0 | D=30K → +₹2L | D=40K → +₹4L | D=50K → +₹4L. E[Gewinn] = 20%×(−2L) + 15%×0 + 10%×2L + 25%×4L + 30%×4L = −40.000 + 0 + 20.000 + 1.00.000 + 1.20.000 = ₹2.00.000 ← am höchsten ✓

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Kernergebnis — Probabilistisches Umfeld

• Optimale NV-Bestellung: S* = 40.000 Einheiten → E[Gewinn] = ₹2.00.000
• Wichtig: S* = 40.000 ≠ irgendein spezifisches Nachfrageniveau. Es ist NICHT einfach “Anpassung an D”
• Der NV ist bereit, das Risiko einzugehen, 40K zu bestellen, auch wenn es manchmal zu Verlusten führt (wenn D = 10K) — weil der Erwartungswert über alle Szenarien bei S = 40K am höchsten ist
• Eine Bestellung von S = 50K reduziert E[Gewinn] wieder auf ₹1.50.000 — die Strafe für Überbestand überwiegt das Aufwärtspotenzial bei hoher Nachfrage

Warum S > erwartete Nachfrage?* Szenarien mit hoher Nachfrage (D=40K, 30%; D=50K, 25%) sind wahrscheinlich genug, dass der Vorteil des zusätzlichen Bestands den Nachteil des Überbestands im Fall von geringer Nachfrage überwiegt. Tradeoff im Kern des NVP: Überbestandskosten (Kosten für zu viel Bestellen) vs. Unterbestandskosten (Kosten für zu wenig Bestellen)

Hinweis

★ Im probabilistischen Umfeld → gleicht das optimale S* Überbestands- und Unterbestandskosten aus. S* hängt von der Nachfrageverteilung UND den Kosten-/Umsatzparametern ab — NICHT nur von der erwarteten Nachfrage.

Tipp

★ Prüfungstipp: Sagen Sie nicht S* = E[D] im probabilistischen NVP. Das ist falsch. S* wird durch den Vergleich der erwarteten Auszahlungen über mögliche Bestellmengen hinweg gefunden. Kennen Sie die Formel: E[Gewinn|S] = Σ P(Dᵢ) × π(S, Dᵢ).

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Deterministisch vs. Probabilistisch — Seite an Seite

Aspekt	Deterministisch	Probabilistisch
Nachfragewissen	Vor der Bestellung genau bekannt	Nur als Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt
NV-Entscheidungsregel	S* = D (Nachfrage immer anpassen)	S* = arg max E[Gewinn | S]
Risiko	Keines — D ist sicher	Verlust durch Überbestand ODER entgangene Verkäufe — nicht vermeidbar
S vs. Nachfrage*	S* = D (exakte Übereinstimmung)	S* kann von jedem spezifischen D abweichen (hier: S*=40K, kein D=40K sicher)
Erwarteter NV-Gewinn	Genauer Gewinn im Voraus bekannt	₹2.00.000 (erwartet, nicht garantiert)
SC-Konflikt?	Ja — wenn D < RS-Breakeven (30K)	Wird in der nächsten Session analysiert

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Ausblick — Was kommt als Nächstes

• Nächste Session: Analyse der Lieferantenauszahlung unter probabilistischem Umfeld — macht S*=40K den RS profitabel?
• Danach: Verträge als Koordinationsinstrument — einfache Verträge + beliebte Verträge (z.B. Buyback, Revenue Sharing)
• Abschließend: Wie die Plattformökonomie die Koordination erleichtert — die Brücke vom NVP zur realen SC-Digitalisierung

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Zusammenfassung der Session

• Probabilistisches NVP: D ist ungewiss — der NV kennt nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung, nicht das tatsächliche D
• Nachfrageverteilung: 5 diskrete Szenarien: 10K(20%), 20K(15%), 30K(10%), 40K(25%), 50K(30%)
• Verkaufsregel: Verkaufte Einheiten = min(D, S) — immer
• NV-Gewinn pro Zelle: min(D,S) × ₹20 − S × ₹10
• Entscheidungsrahmen: Risikoneutraler NV maximiert E[Gewinn | S] = Σ P(Dᵢ) × Gewinn(S, Dᵢ)
• Ergebnis: S* = 40.000 Einheiten → E[Gewinn] = ₹2.00.000 (höchster Wert unter allen Optionen)
• Kernerkenntnis: S* ≠ D im probabilistischen Umfeld. Bestimmt durch das Abwägen von Überbestands- vs. Unterbestandskosten über alle Szenarien hinweg.