Woche 9 | Session 5: DEA — Linearisierung, Excel Solver & Interpretation der Ergebnisse
Kurs: Supply Chain Digitalisierung — Modul 3: Analytics im SCM
Session-Agenda
Abschnitt betitelt „Session-Agenda“1. Rückblick — Session 4
Abschnitt betitelt „1. Rückblick — Session 4“- DEA-Modell formuliert: Maximiere gewichteten Output ÷ gewichteten Input für jeden Standort, unter der Bedingung, dass die Effizienz aller Standorte ≤ 1 ist.
- Problem: Das Modell ist nicht-linear — Entscheidungsvariablen kommen sowohl im Zähler als auch im Nenner vor.
- Diese Session: Das Modell linearisieren, im Excel Solver lösen und Ergebnisse interpretieren.
2. Umwandlung von nicht-linearer DEA in lineare Programmierung
Abschnitt betitelt „2. Umwandlung von nicht-linearer DEA in lineare Programmierung“
Warum nicht-linear? Sowohl Zähler (V1·Y1 + V2·Y2) als auch Nenner (U1·X1 + U2·X2) enthalten Entscheidungsvariablen → Y/X Typ = nicht-linear.
Strategie: Zwei separate Transformationen anwenden.
| Transformation | Warum es funktioniert |
|---|---|
1. Nebenbedingung (Nicht-linear zu Linear):(V·Y) / (U·X) ≤ 1 → V·Y − U·X ≤ 0 | Nenner auf die rechte Seite multiplizieren. Der Nenner ist positiv, also bleibt die Ungleichungsrichtung erhalten. |
| 2. Zielfunktion (Nicht-linear zu Linear): Maximieren (V·Y) / (U·X)Nebenbedingung hinzufügen: U·X = 1→ Lineare Zielfunktion: Maximieren V·Y | Nenner über eine zusätzliche Gleichheitsbedingung auf 1 fixieren. Die Zielfunktion reduziert sich auf die Maximierung des Zählers. |
3. Linearisiertes DEA-Modell — Standort 1 (Beispiel)
Abschnitt betitelt „3. Linearisiertes DEA-Modell — Standort 1 (Beispiel)“- Zielfunktion (linear): Maximieren
92·V1 + 80·V2 - Nebenbedingung 0 (Nenner = 1):
32·U1 + 88·U2 = 1(ändert sich pro Standort) - Nebenbedingungen 1–9 (Effizienz ≤ 1): (linear, fest für alle Läufe)
- F1:
92·V1 + 80·V2 − 32·U1 − 88·U2 ≤ 0 - F2:
88·V1 + 78·V2 − 35·U1 − 94·U2 ≤ 0 - … (wiederholen für F3 bis F9)
- F1:
Entscheidungsvariablen & Nicht-Negativität
Abschnitt betitelt „Entscheidungsvariablen & Nicht-Negativität“V1, V2, U1, U2 ≥ ε (Nutzen Sie ε = 0,000001 — niemals exakt 0, um Nullgewichte zu vermeiden).
4. Allgemeines DEA-Modell (m Inputs, s Outputs, n Standorte)
Abschnitt betitelt „4. Allgemeines DEA-Modell (m Inputs, s Outputs, n Standorte)“| Komponente | Ausdruck (linearisiert, für Standort p) | Notizen |
|---|---|---|
| Zielfunktion (ändert sich pro Lauf) | Maximieren: Σ(k=1 bis s) Vk · Ykp | Gewichtete Summe der Outputs. |
| Zusätzl. Bedingung (ändert sich) | Σ(j=1 bis m) Uj · Xjp = 1 | Fixiert Nenner = 1. Nur Inputs von Standort p. |
| Effizienzbedingungen (gleich) | Für jedes i = 1 bis n: Σ Vk·Yki − Σ Uj·Xji ≤ 0 | Stellt sicher, dass keine Effizienz > 1 ist. |
| Nicht-Negativität | Vk ≥ ε > 0, Uj ≥ ε > 0 | Nutzen Sie ε = 0,000001 (nicht 0), damit Parameter relevant bleiben. |
5. Excel Solver — Setup & Schritte
Abschnitt betitelt „5. Excel Solver — Setup & Schritte“- Daten eingeben: Daten + Variablenzellen anlegen. VLOOKUP für Koeffizienten nutzen.
- Zielzelle festlegen: Z.B.
92·V1 + 80·V2(Maximieren). - Variablenzellen ändern:
V1, V2, U1, U2Zellen auswählen. - Nebenbedingung 0 hinzufügen:
32·U1 + 88·U2 = 1. - Nebenbedingungen 1–9 hinzufügen: Alle 9 Standort-Bedingungen
≤ 0. - Lösen: Simplex LP wählen, untere Grenze =
ε. Ergebnisse notieren und 9 Mal wiederholen.
6. Effizienzergebnisse — Alle 9 Standorte
Abschnitt betitelt „6. Effizienzergebnisse — Alle 9 Standorte“| Standort | Effizienz | Lücke | Parameter mit höchstem Gewicht | Status |
|---|---|---|---|---|
| F4 | 100% | 0% | — | Effizient ★ |
| F7 | 100% | 0% | — | Effizient ★ |
| F1 | 95.72% | 4.28% | OEE (V2 am höchsten) | Nicht effizient |
| F9 | 92.00% | 8.00% | Zykluszeit (U1 = 0.033) | Nicht effizient |
| F2 | 87.00% | 13.00% | OEE & Ressourcenauslastung | Nicht effizient |
| F8 | 76.00% | 24.00% | OEE (V2 = 0.011) | Nicht effizient |
(F4 und F7 dienen als Benchmarks auf der Effizienzgrenze. F8 ist am ineffizientesten).
7. Wie man DEA-Ergebnisse interpretiert — Fokus auf Gewichte
Abschnitt betitelt „7. Wie man DEA-Ergebnisse interpretiert — Fokus auf Gewichte“Der Parameter mit dem höchsten Gewicht ist derjenige, auf den die Effizienz am empfindlichsten reagiert. Fokussieren Sie Verbesserungen dort.
| Szenario | Bedeutung | Aktion |
|---|---|---|
| Effizienz = 100% | Standort liegt auf der Effizienzgrenze | Keine Verbesserung nötig — Benchmark |
| Output-Gewicht (Vk) am höchsten | Dieser Output ist am empfindlichsten | Output-Wert erhöhen |
| Input-Gewicht (Uj) am höchsten | Dieser Input zieht Effizienz nach unten | Input-Wert reduzieren |
| Mehrere hohe Gewichte | Output & Input tragen zur Ineffizienz bei | Beides gleichzeitig verbessern |
Zusammenfassung der Session
Abschnitt betitelt „Zusammenfassung der Session“- Nicht-linear → LP: Nenner kreuzweise multiplizieren; Nenner=1 Bedingung für Zielfunktion hinzufügen.
- Solver: Simplex LP, 9 Läufe.
ε > 0als untere Grenze. - Ergebnisse: F4 und F7 (100%) sind effizient. F8 (76%) ist am ineffizientesten.
- Interpretation: Parameter mit höchstem Gewicht = wichtigster Verbesserungsbereich.