Woche 8 | Session 5: SC-Netzwerkdesign - LP-Optimierung & Finaler Vergleich

Kurs: Supply Chain Digitalisierung - Modul 3: Analytics im SCM

Session-Agenda

1. Rückblick - Gleiches Problem, bessere Methode

Gleiches SC-Netzwerk wie in Session 4: 2 Hersteller, 3 Lager, 4 Einzelhändler, 1 Produkt.

Ziele: Finden der optimalen Distributionsstrategie zur Erfüllung der Einzelhändlernachfrage und zur Minimierung der Gesamtdistributionskosten.
Session 4: Gelöst mit Heuristik 1 (₹9.61.000) und Heuristik 2 (₹7.57.000).
Diese Session: Lösung mit Linear Programming (LP) + Excel Solver, um das wahre Optimum zu erhalten.

2. LP-Formulierung - SC-Netzwerkdesign

Entscheidungsvariablen - insgesamt 18

6 Variablen (M→W Ebene): Bewegte Menge zwischen jedem Hersteller-Lager-Paar (z.B. QM1W1).
12 Variablen (W→R Ebene): Bewegte Menge zwischen jedem Lager-Einzelhändler-Paar (z.B. XW1R1).

Alle werden in Excel mit 0 initialisiert - der Solver findet die optimalen Werte.

Flussbilanz-Nebenbedingung (je Lager)

Q_m1w1 + Q_m2w1 = X_w1r1 + X_w1r2 + X_w1r3 + X_w1r4

Nachfrage-Nebenbedingung (je Einzelhändler)

X_w1r1 + X_w2r1 + X_w3r1 = 45.000 (sowie 35.000 / 68.000 / 70.000 für r2-r4)

Die 18 Entscheidungsvariablen (6 Hersteller→Lager, 12 Lager→Einzelhändler) starten alle bei 0. Die Flussbilanz hält jedes Lager als Durchlaufknoten; die Nachfrage-Nebenbedingungen erzwingen die exakte Erfüllung jedes Einzelhändlerbedarfs.

3. Zielfunktion

Gesamtdistributionskosten minimieren = Summe aus (Stückversandkosten × Menge) für alle Paare. (In Excel: SUMMENPRODUKT verwenden)

Z minimieren = Σ (Versandkosten × Q_MiWk) + Σ (Versandkosten × X_WkRj)

4. Nebenbedingungen

Drei Arten von Nebenbedingungen - alle müssen gleichzeitig erfüllt sein für eine gültige Lösung.

Art der Nebenbedingung	Ausdruck	Was sie sicherstellt
Angebot (2)	`QM1W1+QM1W2+QM1W3 ≤ 1.50.000`	Gesamtlieferung jedes Herstellers ≤ seiner Kapazität
Flussbilanz (3)	`Σ(in W1) = Σ(aus W1)`	Was in ein Lager kommt, muss auch hinaus - keine Vorratshaltung
Nachfrage (4)	`XW1Rj+XW2Rj+XW3Rj = Dj`	Alle 3 Lager zusammen müssen die Nachfrage jedes Einzelhändlers erfüllen
Nicht-Negativität	Alle `Q`- und `X`-Variablen ≥ 0	Mengen können nicht negativ sein

Flussbilanz (Flow Balance) - Wichtiges neues Konzept

Stellt sicher, dass Lager nur Durchgangsstationen sind - sie halten keine Bestände. Für W1: QM1W1 + QM2W1 = XW1R1 + XW1R2 + XW1R3 + XW1R4

5. Lösung in Excel - Schritt für Schritt

Ziel festlegen: Wählen Sie die Zelle für die Gesamtkosten → auf Minimieren setzen.
Variablenzellen ändern: Wählen Sie ALLE Zellen der Entscheidungsvariablen (18 Zellen).
Nebenbedingungen hinzufügen: Fügen Sie Angebots-, Flussbilanz- und Nachfragebedingungen hinzu.
Nicht-Negativität: Haken bei ‘Nicht eingeschränkte Variablen nicht-negativ machen’ setzen.
Lösungsmethode: Wählen Sie Simplex LP (Modell ist vollständig linear).
Lösen: Klicken Sie auf Lösen → Solver-Lösung beibehalten.

Excel Solver - LP-Netzwerk-Einrichtung

Ziel festlegen: Gesamtkosten-Zelle → Min (Zelle = SUMMENPRODUKT(Kosten; Mengen))
Durch Ändern der Zellen: alle 18 Entscheidungsvariablen-Zellen
Nebenbedingungen: Angebot ≤ Kapazität · Eingang = Ausgang (Flussbilanz) · Nachfrage = Bedarf
Nicht eingeschränkte Variablen nicht-negativ: ✓
Lösungsmethode: Simplex LP (Modell vollständig linear)

Der Solver minimiert die SUMMENPRODUKT-Gesamtkostenzelle durch Anpassung aller 18 Flüsse unter den Angebots-, Flussbilanz- und Nachfrage-Nebenbedingungen mit der Simplex-LP-Engine.

6. Ergebnis & Finaler Vergleich

Optimale LP-Lösung

Der Solver bestätigt: Alle Nebenbedingungen und Optimalitätsbedingungen sind erfüllt. Gesamtdistributionskosten = ₹6.89.000 ← globales Optimum.

Optimale Entscheidungsvariablen (gelieferte Einheiten) - Gesamtkosten ₹6,89,000:

Lager	← m1	← m2	→ r1	→ r2	→ r3	→ r4
w1	1,50,000	0	45,000	35,000	0	70,000
w2	0	0	0	0	0	0
w3	0	68,000	0	0	68,000	0

Hersteller

M1 → W11,50,000

M2 → W368,000

→

Lager

→

Einzelhändler

R1 · 45,000 über W1

R2 · 35,000 über W1

R4 · 70,000 über W1

R3 · 68,000 über W3

LP-Optimum - W1 bedient R1, R2, R4 (von M1 gespeist) und W3 bedient R3 (von M2 gespeist). Das Leiten von R4 über W1 und R3 über W3 unterbietet beide Heuristiken.

Ansatz-Vergleich

Ansatz	Methode	Gesamtkosten	Optimal?	Ersparnis vs. H1
Heuristik 1	Günstigstes Lager für alle	₹9.61.000	Nein	-
Heuristik 2	Günstigster Pfad pro Einzelhändler	₹7.57.000	Nein	₹2.04.000
LP-Optimierung	Simplex LP über Excel Solver	₹6.89.000	Ja - garantiert	₹2.72.000

Zusammenfassung der Session

Problem: 2 Hersteller → 3 Lager → 4 Einzelhändler, Minimierung der Gesamtversandkosten.
Entscheidungsvariablen: 6 (Hersteller→Lager) + 12 (Lager→Einzelhändler) = insgesamt 18.
3 Nebenbedingungen: Angebot (≤ Kapazität) | Flussbilanz (in = out im Lager) | Nachfrage (= Bedarf Einzelhändler).
Solver: Simplex LP.
Ergebnis: LP = ₹6.89.000 (optimal). Schlägt Heuristiken deutlich.